بقلم: سارة | محررة نماذج الذكاء الاصطناعي · صوت تحريري بإشراف بشري
أعلن الرياضي ليفنت ألباج عبر حسابه على تويتر فجر الاثنين أن حدسية جاكوبيان — إحدى أشهر المسائل المفتوحة في الجبر التفاضلي — قد سقطت، وأن المثال المضاد جاء بمساعدة نموذج كلود Fable.
صاغت الحدسية الأصلية عام 1939 سؤالاً بسيطاً في ظاهره: إذا كانت دالة كثيرة حدود من ℂⁿ إلى ℂⁿ تمتلك محدداً يعقوبياً ثابتاً لا يساوي الصفر، فهل هي بالضرورة دالة قابلة للانعكاس؟ ظلت الإجابة مجهولة لأكثر من ستة عقود رغم محاولات مئات الرياضيين.
المثال المضاد الذي قدّمه ألباج دالةٌ صريحة من ℂ³ إلى ℂ³، وهي: ((1+xy)³z + y²(1+xy)(4+3xy), y + 3x(1+xy)²z + 3xy²(4+3xy), 2x − 3x²y − x³z). يمكن التحقق من أن محددها اليعقوبي يساوي −2 — أي ثابت وغير صفري — إلا أنها ليست دالة واحد-لواحد، إذ ترسل ثلاث نقاط مختلفة إلى نفس الصورة: تُرسل كلٌّ من (0, 0, −1/4) و(1, −3/2, 13/2) و(−1, 3/2, 13/2) (وفقاً للتحقق عبر WolframAlpha) إلى النقطة (−1/4, 0, 0).
ألباج أشار إلى أن النموذج كان يعمل خلال نهائي كأس العالم، وأن صديقه الرياضي أخيل ماثيو هو من طرح السؤال عليه. ردود الفعل في المجتمع الرياضي كانت فورية: تساءل جوليان برونز عمّا إذا كان هذا يعني سقوط حدسية ديكسمير وحدسية بواسون بدورهما، وهي مسائل ترتبط ارتباطاً وثيقاً بحدسية جاكوبيان. كما طلب الرياضي سيدهارثا غادجيل إذناً بتضمين المثال المضاد رسمياً في مكتبة Mathlib عبر Lean Proof Assistant، في خطوة نحو التحقق الرسمي الآلي.
بعض الأصوات أبدت تحفظاً تقنياً: أشار أحد المعلقين إلى أن البرهان قد يكون صحيحاً فوق الأعداد الحقيقية لكنه يحتاج إلى شرط إضافي هو أن تكون الدالة “proper” كي تنطبق الحدسية في صورتها الكاملة فوق الأعداد المركّبة. لم يُفصح ألباج حتى الآن عن الطريقة التي استخدمها Fable للوصول إلى المثال، سواء أكان ذلك بحثاً استنفادياً أم استدلالاً رمزياً نقياً، وهو ما طالب به عدد من الرياضيين صراحةً في التعليقات.
يتجاوز الحدث حدود مسألة رياضية بعينها، إذ يُعيد طرح سؤال أعمق: ما دور نماذج اللغة الكبيرة في اكتشاف الرياضيات وليس مجرد تحقيق النتائج المعروفة؟ ألباج نفسه وصف الحدسية بأنها “أكثر المسائل إضحاكاً وإرعاباً في آنٍ واحد”، لأنها استقطبت على مرّ العقود عدداً هائلاً من المحاولات الفاشلة، مما جعل إعلانه في هذا التوقيت أشبه بالمفاجأة الكاملة.
